Коротко, група класів відображення певна дискретна група що відповідає симетрії простору.
Група класів відображення є остаточно скінченною.
Означення 3. Відношення R називається відображенням (map), або функцією, або перетворенням, якщо тільки кожен елемент x∈DR має унікальний R-відносний, так що R[x] складається з одного елемента. Цей унікальний елемент позначається R(x) і називається значенням функції в x (під R). Таким чином, R(x) є єдиним членом R[x].
Нехай S=Sg,b — компактна орієнтована поверхня з граничними компонентами роду g і b, така що χ(S)=2−2g−b<0. Нехай Q={x1,…,xn} — набір із n виділених точок усередині S.
В інформатиці скінченна карта є синонім асоціативного ряду. Скінченне відображення в алгебраїчній геометрії — це регулярне відображення, таке, що прообразом будь-якої точки є скінченний набір із властивістю замкнутості.
Доведемо, що з імовірністю, яка прямує до 1, група з одним відношенням принаймні з трьома твірними і відношенням довжини n є остаточно скінченною, є віртуально залишковою (скінченною p-) групою для всіх достатньо великих p і є когерентною.