Формально: якщо f і g є неперервними відображеннями від X до Y і K є підмножиною X, тоді ми говоримо, що f і g гомотопні відносно K, якщо існує гомотопія H : X × [0, 1] → Y між f і g такі, що H(k, t) = f(k) = g(k) для всіх k ∈ K і t ∈ [0, 1].
Інтуїтивно гомотопічні групи запис інформації про основну форму, або отвори, топологічного простору. Щоб визначити n-ту гомотопічну групу, відображення зі збереженням базової точки з n-вимірної сфери (з базовою точкою) у даний простір (з базовою точкою) збираються в класи еквівалентності, які називаються гомотопічними класами.
Спектр алгебраїчної K -теорії цілих чисел має гомотопічні групи π 0 = ℤ , π 1 = ℤ / 2 , π 3 = ℤ / 48 , і так далі. Ці групи називаються групами алгебраїчної K -теорії цілих чисел K n ( ℤ ).
Тому гомотопічна група є тривіальна група. Коли i = n, кожне відображення від Sn до самого себе має ступінь, який вимірює, скільки разів сфера обертається навколо себе. Цей ступінь ототожнює гомотопічну групу πn(Sn) із групою цілих чисел, що додаються.
гомотопія, в математиці, спосіб класифікації геометричних областей шляхом вивчення різних типів шляхів, які можна намалювати в області. Два шляхи зі спільними кінцевими точками називаються гомотопними, якщо один можна безперервно деформувати в інший, залишаючи кінцеві точки фіксованими та залишаючись у визначеній області.