Нехай A — симетрична матриця, а Q(x) = xT Ax — відповідна
. визначення. Q і A називаються додатними напіввизначеними, якщо Q(x) ≥ 0 для всіх x. Вони називаються позитивно визначеними, якщо Q(x) > 0 для всіх x 6= 0. 10 квітня 2020 р.
Матриця M називається додатно напіввизначеною, якщо вона є симетричний і всі його власні значення є невід’ємними. Якщо всі власні значення строго додатні, то це називається позитивно визначеною матрицею.
Необхідна і достатня умова: Симетрична матриця A є додатно напіввизначеною тоді і тільки тоді, коли всі його власні значення є невід’ємними. Доведення: якщо A є позитивно напіввизначеним, то для будь-якого відмінного від нуля вектора x x^T Ax ≥ 0.
Додатні напіввизначені матриці мають власні значення більше або дорівнюють 0. Для сингулярної матриці визначник дорівнює 0, і вона має лише одну опору.
Квадратна матриця називається позитивно визначеною, якщо вона є такою симетричний і всі його власні значення λ додатні, тобто λ > 0. Оскільки ці матриці є симетричними, теорема про головні осі відіграє центральну роль у теорії. Якщо A позитивно визначений, то він оборотний і det A > 0.
Q і A називаються додатними напіввизначеними якщо Q(x) ≥ 0 для всіх x. Вони називаються позитивно визначеними, якщо Q(x) > 0 для всіх x 6= 0. Отже, позитивно визначені означає, що в підписі немає мінусів, а позитивно визначені означає, що є n плюсів, де n — розмірність простору .