Антидиференціація або інтеграція є процесом, зворотним до диференціації. Наприклад, якщо f0(x) = 2x, ми знаємо, що це похідна f(x) = x2. Чи можуть бути інші можливі відповіді? y = x2 + c, де c — довільна константа (називається константою інтегрування).
Давайте розглянемо деякі приклади цього правила першопохідної, щоб краще зрозуміти це правило.
- ∫x2 dx = x2+1/(2+1) + C = x3/3 + C.
- ∫x-4 dx = x-4+1/(-4+1) + C = x-3/(-3) + C = -x-3/3 + C.
Загалом, першопохідна від f ( x ) = 2 x задається формулою F ( x ) = x 2 + C , де C представляє будь-яку константу. Це тому, що додавання константи до x 2 не вплине на його похідну. Наприклад, F ( x ) = x 2 + 1 і F ( x ) = x 2 + 2 обидва мають похідну від F ′ ( x ) = 2 x .
Одне практичне застосування – у фізиці, коли обчислення положення об’єкта в часі шляхом інтегрування його швидкості. Інше застосування в економіці, де антипохідні використовуються для визначення загальних витрат, доходів або функцій прибутку в різних бізнес-моделях.
Позначення, яке використовується для позначення першопохідних, – це невизначений інтеграл. f (x)dx означає першохідну від f по x. Якщо F є першопохідною від f, ми можемо написати f (x)dx = F + c. У цьому контексті c називається константою інтегрування.
Означення 1.3. Ми визначаємо найзагальнішу першопохідну від f(x). F(x) + C де F′(x) = f(x), а C являє собою довільну константу. Якщо ми вибираємо значення для C, то F(x) + C є певною першопохідною (або просто антипохідною f(x)).